Ermittlung des vollständigen Messergebnisses M

Ein Messergebnis ist nur dann aussagefähig, wenn es auch einen Wahrheitsgehalt hat. Wie groß der Wahrheitsgehalt ist bzw. wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Messergebnis ’richtig’ ist, hängt von zwei Größen ab:

1. von der Anzahl n der Messungen bzw. der Messwerte
2. von der Messunsicherheit u_M des verwendeten Messgerätes.

Ein Messwert ist kein Messwert. Daher sollten an einer Messstelle immer mehrere Messwerte aufgenommen und statistisch ausgewertet werden.

Wie unten noch näher erläutert, wird das Messergebnis in folgender Form angegeben:

Dabei ist der Mittelwert aus den Einzelwerten x₁, x₂, ... x_n der Messreihe, wobei n die Anzahl der Messwerte ist.

u ist die Gesamtmessunsicherheit und errechnet sich aus den beiden Komponenten Messunsicherheit u_M des Messgerätes und aus der Unsicherheit u_s, die sich aus der Standardabweichung s gemäßberechnen lässt.

Mit größer werdender Anzahl n der Messwerte verkleinert sich u_s. Für eine hinreichende Genauigkeit sollte n zwischen 5 und 10 liegen.

 

Die Standardabweichung s selbst berechnet sich nach folgender Formel:

x_i ist der jeweilige Einzelwert

Die Gesamtmessunsicherheit u des Messergebnisses M berechnet sich dann aus der geometrischen Addition der beiden Komponenten gemäß

Die Angabe des vollständigen Messergebnisses nach DIN 1319-3:1996-05 wird in der folgenden Schreibweise angegeben

oder

Vertrauensbereich für den wahren Wert

Der wahre Wert liegt nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in dem Bereich  ± u .

Bei n=10 Messwerten ist die Wahrscheinlichkeit etwa 68 %, dass der wahre Wert in den Vertrauensgrenzen von  - u und  + u liegt.

 

Statistische Auswertung mit Hilfe der ’Online-Statistik’

Die ’Online–Statistik’ der Surfix^® Geräte berechnet und zeigt auf dem Display nach jeder Messung den Mittelwert  und die Standardabweichung s sowie die Anzahl der Messungen n an. Aus diesen drei Größen lässt sich schnell das vollständige Messergebnis M berechnen.

Beispielrechnung zur Ermittlung des vollständigen Messergebnisses (Labor­messungen):

1. Die Messunsicherheit u_M der Sonde FN 0.2 beträgt nach einer Zweipunkt-Kalibrierung u_M = ± 0,4 µm über den ganzen Messbereich 0 bis 200µm.
2. Es werden mit einem Surfix^®-Gerät und der Sonde FN0.2 folgende 10 Messwerte aufgenommen:

Das Messgerät Surfix^® mit der Sonde FN0.2 zeigt für die obige Messreihe an:

Anzahl der Messwerte  n = 10
Mittelwert   = 96,3 µm
Standardabweichung   s = 0,4 µm

Die Messunsicherheit des Messgerätes beträgt u_M = ± 0,4 µm.

Daraus ergibt sich für die Gesamtmessunsicherheit

Das vollständige Messergebnis nach DIN 1319-3 ist

 

Erweiterte Messunsicherheit

In der Messtechnik wird häufig eine erweiterte Messunsicherheit ± U angegeben, die einen Wertebereich x - U und x + U angibt, der den wahren Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 95% enthält (Erweiterungsfaktor k=2). Bei n = 10 Messwerten ist dann

Im obigen Beispiel ist dann das Messergebnis mit erweiterter Messunsicherheit

 

Sinnvolle Grenzen der dünnsten messbaren Schichten

Die mit Surfix^® Geräten unter Normalbedingungen erreichbaren Genauigkeiten beim Messen dünner Schichten werden durch den absoluten Fehler der Geräte-Messunsicherheit u angegeben, z. B. ± (1 µm + 1 % vom Messwert). Je nach verwendeter Sonde und Kalibrierart hat der absolute Fehler unterschiedliche Werte, z. B. ± 3 µm, ± 1 µm oder ± 0,7 µm.

Je dünner die zu messenden Schichten sind, desto störender wirken sich diese Mess­un­sicherheiten auf das Messergebnis aus.

Bei einem Mittelwert der Messwerte von  = 20 µm wirkt sich eine Messunsicherheit von u_M = ± 3 µm mit ± 15 % bzw. bei u_M = ± 0,7 µm mit ca. ± 4,6 % vom Messwert aus. Diese Toleranzen liegen noch gut im Akzeptanzbereich für typische Schichten.

Jedoch bei einem Mittelwert der Messwerte von  = 5 µm wirken sich die Messunsicherheiten von u_M = ± 3 µm, ± 1 µm und 0,7 µm relativ auf den Messwert bezogen sehr hoch aus, nämlich mit ± 60 %, ± 20 % und ± 14 % aus. Bei diesen Toleranzen ist die Akzeptanz der Messergebnisse schon fraglich.

Der Einfachheit halber sind in obigen Beispielen die Standardabweichungen s vernachlässigt worden, sonst wären die prozentualen Fehler noch größer.

Bei allen Schichtdickenmessgeräten, deren Messbereich mit Null beginnt, wird die Geräte-Messunsicherheit u_M immer durch einen absoluten und einen relativen Wert angegeben. Angaben ohne diesen absoluten Fehler wären ungenau bzw. falsch. Gerade dieser absolute Fehler aber kann die Messung von dünnen Schichten problematisch machen.

Aus dem oben Gesagten lässt sich folgendes zusammenfassen:

Wo die sinnvolle Grenze für die Messung dünner Schichten ist, entscheiden Sie selbst; denn Ihre Entscheidung ist es, welche Gesamtmessunsicherheit das Messergebnis für Sie noch akzeptabel macht. Die folgenden Punkte können Ihnen dabei helfen.

1. Bei dünnen Schichten führen Sie stets eine Einpunkt- bzw. eine Zweipunkt-Kalibrierung durch. Die Einpunkt-Kalibrierung ist hierbei fast immer ausreichend. Die Messunsicherheit u ist nur ± 1µm.
2. Setzen Sie die Sonde langsam und vorsichtig auf, möglichst an ein und der selben Stelle. Die dünne Schicht wird dadurch geschont und drückt sich nicht ein. Sie erzielen dadurch reproduzierbare Messwerte mit einer kleinen Standard­abweichung s. Aus dem vorigen Abschnitt wissen Sie, dass s die Gesamtmessunsicherheit vergrößert.
3. Bedenken Sie immer: wenn auch die Messunsicherheit ungewohnt große Werte annimmt, ein solches Messergebnis ist besser als kein Ergebnis.
4. Mit erhöhtem Aufwand können Sie das Messergebnis verbessern, z.B. mit Hilfe eines Messstativs, der Verwendung von dünnen präzisen Kalibrierfolien (z. B. 10 µm Folien) und einer umfassenden statistischen Auswertung (vergl. DIN 1319-3:1996-05, Grundbegriffe der Messtechnik). Sie erreichen damit Messunsicherheiten von deutlich weniger als ± 1 µm.